ずっと日本で工学を勉強してきた者としては英語は苦手な方ではありませんでしたが、やはり英会話を始めるときはかなりのハードルがありました。大学4回生からDMM英会話を始めて大きく話せるようになりましたので、ぜひおすすめしたいです。英語力の底上げ自体はTOEFLの対策を行う中で自然に行えたかと思います。
TOEFL:単語はアプリに自作のリストを作り込み、ひたすら勉強していました。アゴス中山先生のアプリ*1もおすすめですし、自作の場合はAnki*2を使用していました。リスニングは、Podcastなどでできるだけ楽しく鍛えて、ライティングとスピーキングはひたすら型を身に着けて少しずつ応用していきました。最終的には、R: 28、L: 30、W: 26、S: 22 でトータル106という結果でした。
GRE:実は、PhD受験の前にMBA受験も検討していた時期があり、GMAT*3対策を行っていました。VerbalとMathは基本的にGMATの方が難易度が高く、GMATでの経験をベースにしながらGREについては公式問題集を用いて対策しました。ただし、私の受験タイミングではCOVID-19の影響により、GRE提出自体が免除されており、実質的に合否には影響しませんでした。